Formelsammlung Mathe.

Rechengesetze

Kommutativgesetz

a + b = b + a  ·  a · b = b · a

Vertauschen erlaubt bei + und ·

Assoziativgesetz

(a + b) + c = a + (b + c)  ·  (a · b) · c = a · (b · c)

Distributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · c

Ausmultiplizieren bzw. Ausklammern

Reihenfolge

Klammer vor Punkt vor Strich

sonst von links nach rechts

Teilbarkeit

durch 2 / 5 / 10

letzte Ziffer gerade / 0 oder 5 / 0

durch 3 / 9

Quersumme durch 3 / durch 9 teilbar

durch 4

die letzten zwei Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl

ggT und kgV

ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b

für natürliche Zahlen a, b

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Brüche

Erweitern

a geteilt durch b = a · k geteilt durch b · k

k ≠ 0

Kürzen

a geteilt durch b = a : k geteilt durch b : k

k gemeinsamer Teiler

Gleichnamig addieren

a geteilt durch c + b geteilt durch c = a + b geteilt durch c

Subtrahieren genauso

Ungleichnamig addieren

a geteilt durch b + c geteilt durch d = a · d + c · b geteilt durch b · d

oder mit dem Hauptnenner (kgV)

Multiplizieren

a geteilt durch b · c geteilt durch d = a · c geteilt durch b · d

Dividieren

a geteilt durch b : c geteilt durch d = a geteilt durch b · d geteilt durch c

mit dem Kehrwert malnehmen

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Rechteck und Quadrat

Rechteck

A = a · b  ·  u = 2a + 2b

a, b Seitenlängen

Quadrat

A = a²  ·  u = 4a

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Quader und Würfel

Quader

V = a · b · c  ·  O = 2 · (ab + ac + bc)

Würfel

V = a³  ·  O = 6a²

Passende Rechner: Volumen- und Oberflächenrechner →

Einheiten

Länge

1 km = 1000 m  ·  1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

Umrechnungszahl 10

Fläche

1 m² = 100 dm² = 10.000 cm²  ·  1 ha = 10.000 m²  ·  1 km² = 100 ha

Umrechnungszahl 100

Volumen

1 m³ = 1000 dm³  ·  1 dm³ = 1 l = 1000 cm³ = 1000 ml

Umrechnungszahl 1000

Masse und Zeit

1 t = 1000 kg  ·  1 kg = 1000 g  ·  1 h = 60 min = 3600 s

Passende Rechner: Einheiten umrechnen → Runden-Rechner →

Prozentrechnung

Prozentwert

W = G · p geteilt durch 100

G Grundwert, p % Prozentsatz

Grundwert

G = W · 100 geteilt durch p

Prozentsatz

p % = W geteilt durch G

als Dezimalzahl, mal 100 ergibt p

Vermehrter / verminderter Grundwert

G · (1 + p geteilt durch 100)  ·  G · (1 − p geteilt durch 100)

z. B. Preis nach Erhöhung oder Rabatt

Passende Rechner: Prozentrechner →

Zinsrechnung

Jahreszinsen

Z = K · p geteilt durch 100

K Kapital, p % Zinssatz

Monatszinsen

Z = K · p geteilt durch 100 · m geteilt durch 12

m Anzahl der Monate

Tageszinsen

Z = K · p geteilt durch 100 · t geteilt durch 360

oft 360 Zinstage; je nach Aufgabe auch 365

Passende Rechner: Zinsrechner →

Zuordnungen und Dreisatz

proportional

y = k · x  ·  y geteilt durch x = k

doppelt so viel → doppelt so viel

antiproportional

x · y = k

doppelt so viel → halb so viel

Dreisatz

erst auf 1 zurückrechnen, dann auf die gesuchte Menge

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Terme

1. binomische Formel

(a + b)² = a² + 2ab + b²

2. binomische Formel

(a − b)² = a² − 2ab + b²

3. binomische Formel

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Klammern ausmultiplizieren

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Gleichungen

Äquivalenzumformung

auf beiden Seiten dasselbe addieren, subtrahieren, mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren oder dividieren

Lineare Gleichung

a · x + b = c  ⇒  x = c − b geteilt durch a

a ≠ 0

Gleichungssysteme

Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren

Probe in beiden Gleichungen

Passende Rechner: Lineare Gleichungen lösen → Gleichungssystem-Rechner →

Lineare Funktionen

Funktionsgleichung

y = m · x + t

m Steigung, t y-Achsenabschnitt (oft auch b oder n)

Steigung

m = y₂ − y₁ geteilt durch x₂ − x₁

aus zwei Punkten P₁, P₂

Nullstelle

x₀ = −t geteilt durch m

m ≠ 0

Parallel / senkrecht

m₁ = m₂  ·  m₁ · m₂ = −1

Dreiecke und Vierecke

Winkelsumme

Dreieck: α + β + γ = 180°  ·  Viereck: 360°

Dreieck

A = 1 geteilt durch 2 · g · h

g Grundseite, h Höhe

Parallelogramm

A = g · h

Trapez

A = 1 geteilt durch 2 · (a + c) · h

a, c parallele Seiten

Raute und Drachen

A = 1 geteilt durch 2 · e · f

e, f Diagonalen

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Kreis, Prisma und Zylinder

Kreis

u = 2πr = πd  ·  A = πr²

π ≈ 3,14159

Prisma

V = G · h  ·  O = 2G + M

G Grundfläche, M Mantel

Zylinder

V = πr²h  ·  M = 2πrh  ·  O = 2πr² + 2πrh

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Daten auswerten

Arithmetisches Mittel

x̄ = x₁ + x₂ + … + x_n geteilt durch n

Median

mittlerer Wert der geordneten Liste

bei gerader Anzahl: Mittel der beiden mittleren

Spannweite

größter Wert − kleinster Wert

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Potenzgesetze

Gleiche Basis

a^m · aⁿ = a^m+n  ·  a^m : aⁿ = a^m−n

a ≠ 0 beim Teilen

Gleicher Exponent

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ

Potenz einer Potenz

(a^m)ⁿ = a^m·n

Null und negativ

a⁰ = 1  ·  a⁻ⁿ = 1 geteilt durch aⁿ

a ≠ 0

Wurzel als Potenz

a^1/n = ⁿ√n-te Wurzel aus a  ·  a^m/n = ⁿ√n-te Wurzel aus a^m

a ≥ 0

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Wurzeln

Produkt

√Wurzel aus a · b = √Wurzel aus a · √Wurzel aus b

a, b ≥ 0

Quotient

√Wurzel aus a geteilt durch b = √Wurzel aus a geteilt durch √Wurzel aus b

a ≥ 0, b > 0

Quadrat

√Wurzel aus a² = |a|  ·  (√Wurzel aus a)² = a

zweites für a ≥ 0

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Quadratische Funktionen

Allgemeine Form

y = ax² + bx + c

a ≠ 0; a > 0 nach oben geöffnet

Scheitelform

y = a · (x − d)² + e

Scheitel S(d | e)

Scheitel aus der allgemeinen Form

x_S = −b geteilt durch 2a

y-Wert durch Einsetzen

Quadratische Gleichungen

pq-Formel

x² + px + q = 0  ⇒  x_1,2 = −p geteilt durch 2 ± √Wurzel aus (p geteilt durch 2)² − q

abc-Formel (Mitternachtsformel)

ax² + bx + c = 0  ⇒  x_1,2 = −b ± √Wurzel aus b² − 4ac geteilt durch 2a

a ≠ 0

Diskriminante

D = b² − 4ac

D > 0: zwei, D = 0: eine, D < 0: keine reelle Lösung

Satz von Vieta

x₁ + x₂ = −p  ·  x₁ · x₂ = q

für x² + px + q = 0

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Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras

a² + b² = c²

rechter Winkel bei C, c Hypotenuse

Kathetensatz

a² = c · p  ·  b² = c · q

p, q Hypotenusenabschnitte

Höhensatz

h² = p · q

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Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Sinus

sin α = Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse

Kosinus

cos α = Ankathete geteilt durch Hypotenuse

Tangens

tan α = Gegenkathete geteilt durch Ankathete = sin α geteilt durch cos α

Zusammenhang

(sin α)² + (cos α)² = 1

Besondere Werte

sin 30° = cos 60° = 1 geteilt durch 2  ·  sin 45° = cos 45° = √Wurzel aus 2 geteilt durch 2  ·  sin 60° = cos 30° = √Wurzel aus 3 geteilt durch 2  ·  tan 45° = 1

Beliebige Dreiecke und Kreisteile

Sinussatz

a geteilt durch sin α = b geteilt durch sin β = c geteilt durch sin γ

Kosinussatz

c² = a² + b² − 2ab · cos γ

Flächeninhalt

A = 1 geteilt durch 2 · a · b · sin γ

Kreisbogen und Sektor

b = α geteilt durch 360° · 2πr  ·  A = α geteilt durch 360° · πr²

Bogenmaß

x = α geteilt durch 180° · π

Pyramide, Kegel und Kugel

Pyramide

V = 1 geteilt durch 3 · G · h

Kegel

V = 1 geteilt durch 3 · πr²h  ·  M = πrs  ·  O = πr² + πrs

s Mantellinie, s² = r² + h²

Kugel

V = 4 geteilt durch 3 · πr³  ·  O = 4πr²

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Wachstum und Logarithmus

Exponentielles Wachstum

N(t) = N₀ · a^t

a = 1 + p/100 (Zunahme), a = 1 − p/100 (Abnahme)

Zinseszins

K_n = K₀ · (1 + p geteilt durch 100)ⁿ

n Jahre

Logarithmus

a^x = b  ⇔  x = log_a(b)

a > 0, a ≠ 1, b > 0

Logarithmusgesetze

log(u · v) = log u + log v  ·  log(u geteilt durch v) = log u − log v  ·  log(u^r) = r · log u

u, v > 0

Passende Rechner: Zinsrechner →

Wahrscheinlichkeit

Laplace-Experiment

P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse geteilt durch Anzahl möglicher Ergebnisse

alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich

Gegenereignis

P(Ē) = 1 − P(E)

Pfadregeln

entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren

Baumdiagramm

Passende Rechner: Wahrscheinlichkeitsrechner →

Ableitungsregeln

Potenzregel

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Faktor- und Summenregel

(c · f)′ = c · f′  ·  (f + g)′ = f′ + g′

Produktregel

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Quotientenregel

(u geteilt durch v)′ = u′ · v − u · v′ geteilt durch v²

v ≠ 0

Kettenregel

(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

äußere mal innere Ableitung

Wichtige Ableitungen

Konstante

(c)′ = 0

e-Funktion

(e^x)′ = e^x  ·  (a^x)′ = ln(a) · a^x

Logarithmus

(ln x)′ = 1 geteilt durch x

x > 0

Wurzel

(√Wurzel aus x)′ = 1 geteilt durch 2√Wurzel aus x

x > 0

Sinus und Kosinus

(sin x)′ = cos x  ·  (cos x)′ = −sin x

x im Bogenmaß

Kurvendiskussion

Tangente in x₀

y = f′(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)

Extremstelle

f′(x₀) = 0 und f″(x₀) ≠ 0

f″(x₀) < 0: Hochpunkt, f″(x₀) > 0: Tiefpunkt

Wendestelle

f″(x₀) = 0 und f‴(x₀) ≠ 0

Monotonie

f′(x) > 0: streng monoton steigend  ·  f′(x) < 0: fallend

auf einem Intervall

Symmetrie

f(−x) = f(x): zur y-Achse  ·  f(−x) = −f(x): zum Ursprung

Stammfunktionen (Grundformen)

Potenz

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ geteilt durch n + 1 + C

n ≠ −1

Kehrwert

∫ 1 geteilt durch x dx = ln |x| + C

x ≠ 0

e-Funktion

∫ e^x dx = e^x + C

Sinus und Kosinus

∫ sin x dx = −cos x + C  ·  ∫ cos x dx = sin x + C

Lineare Verkettung

∫ f(ax + b) dx = 1 geteilt durch a · F(ax + b) + C

a ≠ 0, F Stammfunktion von f

Bestimmtes Integral

Hauptsatz

∫^b_a f(x) dx = F(b) − F(a)

F Stammfunktion von f

Fläche zwischen Graphen

A = ∫^b_a |f(x) − g(x)| dx

zwischen Schnittstellen abschnittsweise rechnen

Intervalladditivität

∫^b_a f dx + ∫^c_b f dx = ∫^c_a f dx

Mittelwert

m = 1 geteilt durch b − a · ∫^b_a f(x) dx

e-Funktion und ln

Umkehrung

e^{ln x} = x  ·  ln(e^x) = x

x > 0 beim ersten

Rechenregeln

ln(a · b) = ln a + ln b  ·  ln(a^r) = r · ln a

a, b > 0

Basiswechsel

a^x = e^{x · ln a}

a > 0

Grundregeln

Wahrscheinlichkeit

0 ≤ P(E) ≤ 1  ·  P(Ω) = 1

Gegenereignis

P(Ē) = 1 − P(E)

Additionssatz

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Laplace

P(E) = |E| geteilt durch |Ω|

alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich

Passende Rechner: Wahrscheinlichkeitsrechner →

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition

P_B(A) = P(A ∩ B) geteilt durch P(B)

P(B) > 0

Multiplikationssatz

P(A ∩ B) = P(B) · P_B(A)

Unabhängigkeit

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Satz von Bayes

P_B(A) = P(A) · P_A(B) geteilt durch P(B)

Vierfeldertafel oder Baumdiagramm

Kombinatorik

Fakultät

n! = 1 · 2 · … · n  ·  0! = 1

Binomialkoeffizient

n über k: nk = n! geteilt durch k! · (n − k)!

k aus n ohne Reihenfolge

Mit Reihenfolge

mit Zurücklegen: n^k  ·  ohne Zurücklegen: n! geteilt durch (n − k)!

Zufallsgrößen

Erwartungswert

E(X) = μ = x₁ · P(X = x₁) + … + x_n · P(X = x_n)

Varianz

Var(X) = (x₁ − μ)² · P(X = x₁) + … + (x_n − μ)² · P(X = x_n)

Standardabweichung

σ = √Wurzel aus Var(X)

Passende Rechner: Statistik-Rechner →

Binomialverteilung

Bernoulli-Formel

P(X = k) = n über k: nk · p^k · (1 − p)^n−k

n Versuche, Trefferwahrscheinlichkeit p

Erwartungswert

E(X) = n · p

Varianz und σ

Var(X) = n · p · (1 − p)  ·  σ = √Wurzel aus n · p · (1 − p)

Kumuliert

P(X ≤ k) = ∑^k_{i = 0} P(X = i)  ·  P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)

Passende Rechner: Wahrscheinlichkeitsrechner →

Vektoren

Verbindungsvektor

AB = b₁ − a₁b₂ − a₂b₃ − a₃

Spitze minus Fuß

Betrag (Länge)

|a| = √Wurzel aus a₁² + a₂² + a₃²

Abstand zweier Punkte: |<span class="nho-fs-ve">AB</span>|

Mittelpunkt

M = 1 geteilt durch 2 · (A + B)

koordinatenweise

Skalarprodukt und Winkel

Skalarprodukt

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Winkel

cos φ = a · b geteilt durch |a| · |b|

Orthogonal

a ⊥ b  ⇔  a · b = 0

Vektorprodukt

Kreuzprodukt

a × b = a₂b₃ − a₃b₂a₃b₁ − a₁b₃a₁b₂ − a₂b₁

steht senkrecht auf a und b

Flächen

Parallelogramm: A = |a × b|  ·  Dreieck: A = 1 geteilt durch 2 · |a × b|

Geraden und Ebenen

Gerade

g: x = p + r · u

Stützvektor p, Richtungsvektor u

Ebene, Parameterform

E: x = p + r · u + s · v

Ebene, Normalenform

E: n · (x − p) = 0

Normalenvektor n

Ebene, Koordinatenform

E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = c

c = n · p

Abstände und Winkel

Abstand Punkt Q – Ebene

d = |n₁q₁ + n₂q₂ + n₃q₃ − c| geteilt durch |n|

Ebene in Koordinatenform

Winkel zweier Geraden

cos φ = |u · v| geteilt durch |u| · |v|

Winkel Gerade – Ebene

sin φ = |u · n| geteilt durch |u| · |n|

Winkel zweier Ebenen

cos φ = |n₁ · n₂| geteilt durch |n₁| · |n₂|