x beseitigen
II − 2·I und III − I
Aus II wird −3y + z = −3, aus III wird y − 2z = −4. In beiden Zeilen ist x verschwunden.
Kostenloser Rechner
Lineare Gleichungssysteme mit 2 bis 5 Unbekannten.
Trag die Koeffizienten ins Raster ein. Der Rechner löst das System exakt mit dem Gauß-Verfahren, zeigt jede Zeilenumformung und erkennt, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Bei zwei Unbekannten auch mit Additions- oder Einsetzungsverfahren.
Gleichungssystem-Rechner
Gleichungssystem eingeben.
Der Rechner braucht JavaScript. Ist es ausgeschaltet, kannst du mit den Formeln und Beispielen auf dieser Seite auch mit dem Taschenrechner rechnen.
So löst du Gleichungssysteme
Eliminieren, dann einsetzen.
Beispiel mit drei Unbekannten: I: x + y + z = 6, II: 2x − y + 3z = 9, III: x + 2y − z = 2.
y beseitigen
III + 3·II (nach dem Tausch)
Tausche die Zeilen, damit y − 2z = −4 oben steht. Dann ergibt −3y + z = −3 plus 3 · (y − 2z = −4) die Gleichung −5z = −15, also z = 3.
Rückwärts einsetzen
z → y → x
y − 2 · 3 = −4 ergibt y = 2. x + 2 + 3 = 6 ergibt x = 1. Lösung: (1 | 2 | 3).
Zwei Unbekannte
Additionsverfahren
I: 2x + 3y = 12, II: x − y = 1. II mal 2: 2x − 2y = 2. I minus II: 5y = 10, also y = 2 und x = 3.
Keine Lösung
Zeile 0 = Zahl ≠ 0
x + y = 2 und 2x + 2y = 5: II − 2·I ergibt 0 = 1. Ein Widerspruch, die Geraden sind parallel.
Unendlich viele Lösungen
Zeile 0 = 0
x + 2y = 3 und 2x + 4y = 6: II − 2·I ergibt 0 = 0. y = t ist frei wählbar, x = 3 − 2t.
Typische Fehler
Darauf achten.
Rechte Seite vergessen: Wenn du eine Zeile malnimmst oder abziehst, gilt das auch für die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen.
Vorzeichen beim Abziehen: II − 2·I heißt, jeden Koeffizienten von I mit 2 malzunehmen und von II abzuziehen. Aus −y − 2y wird −3y, aus 3z − 2z wird z.
Fehlende Unbekannte nicht als 0 notiert: Steht in einer Gleichung kein z, ist ihr Koeffizient 0. Im Raster bleibt das Feld leer oder bekommt eine 0, nicht eine 1.
Häufige Fragen
Häufige Fragen zum Gleichungssystem-Rechner.
Wie funktioniert das Gauß-Verfahren?
Du formst das System mit erlaubten Zeilenumformungen so um, dass unter der Diagonale nur Nullen stehen (Zeilenstufenform). Dann löst du die letzte Zeile nach ihrer Unbekannten auf und setzt Schritt für Schritt von unten nach oben ein.
Wann hat ein Gleichungssystem keine Lösung?
Wenn beim Umformen eine Zeile wie 0 = 5 entsteht. Links sind alle Unbekannten weggefallen, rechts steht aber keine 0. Diese Gleichung kann keine Zahl erfüllen, das System ist widersprüchlich.
Was bedeutet „unendlich viele Lösungen mit Parameter“?
Entsteht eine Zeile 0 = 0, bleiben weniger Gleichungen als Unbekannte übrig. Eine Unbekannte ist dann frei wählbar, zum Beispiel z = t. Die übrigen hängen von t ab, und für jede Zahl t entsteht eine Lösung.
Was gebe ich ein, wenn eine Unbekannte in einer Gleichung fehlt?
Dann ist ihr Koeffizient 0. Du kannst 0 eintragen oder das Feld leer lassen, leere Felder zählen als 0. Brüche wie 1/2 und Kommazahlen sind erlaubt.
Kostenlose Probestunde
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In der kostenlosen Probestunde rechnet ihr gemeinsam, bis der Weg sitzt. Marcel meldet sich persönlich und schlägt eine Lehrkraft vor, die passt.
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