Diskriminante
D = b² − 4ac
D = (−3)² − 4 · 2 · 1 = 9 − 8 = 1. D ist größer als 0, also gibt es zwei Lösungen.
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Quadratische Gleichungen mit pq- und abc-Formel.
Gib a, b und c von ax² + bx + c = 0 ein. Du bekommst die Diskriminante, den Rechenweg mit Mitternachtsformel und pq-Formel, exakte Lösungen mit Wurzeln, den Scheitelpunkt und die faktorisierte Form.
Quadratische Gleichungen lösen
ax² + bx + c = 0 lösen.
Der Rechner braucht JavaScript. Ist es ausgeschaltet, kannst du mit den Formeln und Beispielen auf dieser Seite auch mit dem Taschenrechner rechnen.
So löst du quadratische Gleichungen
Erst die Diskriminante, dann die Formel.
Beispiel: 2x² − 3x + 1 = 0, also a = 2, b = −3 und c = 1.
Mitternachtsformel
x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
x₁,₂ = (3 ± 1) / 4, also x₁ = 1 und x₂ = 0,5.
pq-Formel
x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Durch 2 teilen: x² − 1,5x + 0,5 = 0, p = −1,5, q = 0,5. x₁,₂ = 0,75 ± √0,0625 = 0,75 ± 0,25.
Scheitelpunkt
S(−b/(2a) | c − b²/(4a))
x_S = 3/4 = 0,75 und y_S = 1 − 9/8 = −0,125. Die Parabel y = 2x² − 3x + 1 hat ihren Tiefpunkt bei S(0,75 | −0,125).
Typische Fehler
Darauf achten.
Vorzeichen von b: In der Formel steht −b. Ist b = −3, wird daraus +3. Und b² ist immer positiv: (−3)² = 9, nicht −9.
pq-Formel ohne Normalform: Die pq-Formel gilt nur, wenn vor x² eine 1 steht. Teile deshalb vorher die ganze Gleichung durch a.
Gleichung nicht auf 0 gebracht: Bei x² + 2x = 3 ist c nicht 0, sondern −3. Erst alles auf eine Seite bringen, dann a, b und c ablesen.
Häufige Fragen
Häufige Fragen zum Quadratische Gleichungen lösen.
Was sagt die Diskriminante?
Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet, wie viele Lösungen es gibt: Ist D größer als 0, gibt es zwei Lösungen, bei D = 0 genau eine, und bei D kleiner als 0 keine reelle Lösung.
pq-Formel oder Mitternachtsformel – was ist besser?
Beide liefern dieselben Lösungen. Die pq-Formel braucht die Normalform x² + px + q = 0, du teilst also vorher durch a. Die Mitternachtsformel (abc-Formel) funktioniert direkt mit a, b und c.
Warum stehen im Ergebnis Wurzeln wie √17?
Wenn die Wurzel nicht aufgeht, ist die Lösung keine abbrechende Dezimalzahl. Der Rechner zeigt dann die exakte Lösung mit Wurzel und dahinter einen auf zwei Stellen gerundeten Wert mit ≈.
Was passiert bei a = 0?
Dann fällt das x² weg und die Gleichung ist linear, nicht quadratisch. Der Rechner meldet das. Für solche Gleichungen gibt es den Rechner für lineare Gleichungen.
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