Divisionsleiter
immer durch die kleinste Primzahl teilen
360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1. Also 360 = 2³ · 3² · 5.
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Primfaktorzerlegung und Primzahltest.
Zerlege eine Zahl in ihre Primfaktoren, prüfe, ob sie eine Primzahl ist, und sieh alle Teiler auf einen Blick. Mit Divisionsleiter und Teilbarkeitsregeln als Rechenweg.
Primfaktorzerlegung
Zahl zerlegen.
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So zerlegst du eine Zahl
Jede Zahl ist ein Produkt aus Primzahlen.
Primzahlen sind Zahlen mit genau zwei Teilern: 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter. Jede natürliche Zahl ab 2 lässt sich auf genau eine Art als Produkt von Primzahlen schreiben.
Primzahltest
Teiler bis √n suchen
91: √91 ≈ 9,54. 2, 3 und 5 teilen 91 nicht, aber 7: 91 = 7 · 13. Also ist 91 keine Primzahl.
Teilermenge
Teilerpaare von außen nach innen
T(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}, denn 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9 und 6 · 6.
Typische Fehler
Daran hakt es am häufigsten.
Zusammengesetzte Zahlen stehen lassen: 360 = 4 · 9 · 10 ist eine Zerlegung, aber keine Primfaktorzerlegung. 4, 9 und 10 sind keine Primzahlen und müssen weiter zerlegt werden.
Die 1 mitzählen: Die 1 ist keine Primzahl und gehört nicht in die Zerlegung. Und auch Zahlen wie 51 = 3 · 17 oder 91 = 7 · 13 sehen nur wie Primzahlen aus.
Beim Primzahltest zu früh aufhören: Wer bei 221 nur 2, 3, 5 und 7 prüft, übersieht 221 = 13 · 17. Prüfe alle Primzahlen bis zur Wurzel, hier bis √221 ≈ 14,87.
Häufige Fragen
Häufige Fragen zum Primfaktorzerlegung.
Warum ist 1 keine Primzahl?
Eine Primzahl hat genau zwei verschiedene Teiler: 1 und sich selbst. Die 1 hat nur einen Teiler. Außerdem wäre die Primfaktorzerlegung sonst nicht eindeutig, weil man beliebig oft · 1 anhängen könnte.
Bis wohin muss ich beim Primzahltest prüfen?
Nur bis zur Wurzel der Zahl. Hätte 97 einen Teiler größer als √97 ≈ 9,85, gäbe es dazu einen Partner kleiner als 9,85. Weil 2, 3, 5 und 7 die 97 nicht teilen, ist 97 eine Primzahl.
Wie viele Teiler hat eine Zahl?
Nimm in der Primfaktorzerlegung jeden Exponenten plus 1 und multipliziere: 360 = 2³ · 3² · 5 hat (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24 Teiler.
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